Question

设椭圆长轴的两端点为A₁，A₂，点P在直线l：x=4上，直线A₁P，A₂P分别与该椭圆交于M，N，若直线MN恰好过右焦点F，则称P为“G点”，那么下列结论中，正确的是

1. A.
   直线l上的所有点都是“G点”
2. B.
   直线l上仅有有限个“G点”
3. C.
   直线l上的所有点都不是“G点”
4. D.
   直线l上有无穷多个点（不是所有的点）是“G点”

Answer 1

A
分析：设P（4，b）．求出直线A₁P，A₂P的方程．与椭圆方程联立，解出M，N的坐标 若MF1，MF2的斜率相等，则直线上的所有点都是G点．
解答：A₁（-2，0），A₂ （2，0）设P（4，b），
由直线的点斜式方程得到直线A₁P：y=（x+2）与椭圆方程联立，
消去y得：，
由韦达定理，x₁+x₂=- 又-2是此方程的一个解，
得M的横坐标是，
代入直线A₁P从而纵坐标．同理N（，）．
根据两点直线斜率公式，k_MF1=K_MF2．
∴M，F1，F2，三点始终共线直线MN始终过右焦点F．
故选A．
点评：本题首先明确G点的新定义．在题目中使得直线MN恰好过右焦点，使问题转化成三点是否共线的问题．