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高考数学考试中有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的．评分标准规定：“在每小题中给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答对得5分，不答或答错得0分”．某考生每道选择题都选出一个答案，能确定其中有道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的，有一道题能判断出一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜．试求出该考生的选择题：
（Ⅰ）得60分的概率；
（Ⅱ）得多少分的概率最大？

解：（Ⅰ）要得60分，必须12道选择题全答对，
依题意，易知在其余四道题中，有两道题答对的概率各为 $\text{[math]}$ ，有一道题答对的概率为 $\text{[math]}$ ，还有一道题答对的概率为 $\text{[math]}$ ，所以他做选择题得60分的概率为： $\text{[math]}$
（Ⅱ）依题意，该考生选择题得分的可能取值有：40，45，50，55，60共5种．
得分为40，表示只做对有把握的那8道题，其余各题都做错，于是其概率为： $\text{[math]}$
类似的，可知得45分为的概率： $\text{[math]}$
得分为50的概率： $\text{[math]}$ ；得分为55的概率： $\text{[math]}$ ；得分为60的概率： $\text{[math]}$
∴该生选择题得分为45分或50分的可能性最大．
分析：（Ⅰ）要得60分，必须12道选择题全答对，依题意，易知在其余四道题中，有两道题答对的概率各为 $\text{[math]}$ ，有一道题答对的概率为 $\text{[math]}$ ，还有一道题答对的概率为 $\text{[math]}$ ，由此能求出他做选择题得60分的概率．
（Ⅱ）依题意，该考生选择题得分的可能取值有：40，45，50，55，60共5种．得分为40，表示只做对有把握的那8道题，其余各题都做错．类似的，能够求出得45分为的概率、得分为50的概率、得分为55的概率和得分为60的概率由此能得到最终结果．
点评：本题考查概率的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意概念乘法公式的合理运用．

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（1）得40分的概率；
（2）得多少分的概率最大？
（3）所得分数ξ的数学期望．

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