已知点,
,动点G满足
.
(Ⅰ)求动点G的轨迹的方程;
(Ⅱ)已知过点且与
轴不垂直的直线l交(Ⅰ)中的轨迹
于P,Q两点.在线段
上是否存在点
,使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)的方程是
.(Ⅱ)存在,实数m的取值范围是
.
解析试题分析:(Ⅰ)由椭圆的定义知,动点G的轨迹是以,
为焦点的椭圆,由题设即可得动点G的轨迹
的方程.(Ⅱ)要使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形,只需
即可.设
,则
,
,由
得
移项用平方差公式得
①
设直线的方程为
,则
,
,故①式变形为
,然后用韦达定理可得一个
与
的关系式:
,由此关系式可看出,这样的点
存在,并由
可求出
的取值范围.
另外,由于,所以也可利用
得:
.
试题解析:(Ⅰ)由,且
知,动点G的轨迹是以
,
为焦点的椭圆,设该椭圆的标准方程为
,
,
由题知,
,则
,
故动点G的轨迹的方程是
. 4分
(Ⅱ)假设在线段上存在
,使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形.直线l与
轴不垂直,设直线
的方程为
,
,
由可得
.
,
. 6分
,
,
,其中
.
由于MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,
所以,则有
, 8分
从而,
所以,
又,则
,
,
故上式变形为, 10分
将代入上式,得
,
即,所以
,可知
.
故实数m的取值范围是. ..13分
考点:1、椭圆的方程;2、直线与圆锥曲线的关系.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的左、右焦点分别为
、
,
为原点.
(1)如图1,点为椭圆
上的一点,
是
的中点,且
,求点
到
轴的距离;
(2)如图2,直线与椭圆
相交于
、
两点,若在椭圆
上存在点
,使四边形
为平行四边形,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆:
的离心率为
,右焦点为
,右顶点
在圆
:
上.
(Ⅰ)求椭圆和圆
的方程;
(Ⅱ)已知过点的直线
与椭圆
交于另一点
,与圆
交于另一点
.请判断是否存在斜率不为0的直线
,使点
恰好为线段
的中点,若存在,求出直线
的方程;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的中心在原点,焦点在
轴上,长轴长为
,且点
在椭圆
上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆
长轴上的一个动点,过
作方向向量
的直线
交椭圆
于
、
两点,求证:
为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(13分)点P为圆上一个动点,M为点P在y轴上的投影,动点Q满足
.
(1)求动点Q的轨迹C的方程;
(2)一条直线l过点,交曲线C于A、B两点,且A、B同在以点D(0,1)为圆心的圆上,求直线l的方程。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)已知中心在原点的椭圆的离心率
,一条准线方程为
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若以>0)为斜率的直线
与椭圆
相交于两个不同的点
,且线段
的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
,求
的取值范围。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知双曲线,
、
是双曲线的左右顶点,
是双曲线上除两顶点外的一点,直线
与直线
的斜率之积是
,
求双曲线的离心率;
若该双曲线的焦点到渐近线的距离是,求双曲线的方程.
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