Question

【题目】已知椭圆C：过点A（﹣1，），B（），F为椭圆C的左焦点．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若点B为直线l1：x+y+2＝0与直线l2：2x﹣y+4＝0的交点，过点B的直线1与椭圆C交于D，E两点，求△DEF面积的最大值，以及此时直线l的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）△DEF面积的最大值，直线l的方程．

【解析】

（Ⅰ）由椭圆所过定点，待定系数法列方程组能求出椭圆C的标准方程．

（Ⅱ）联立方程得出B点坐标，根据直线过定点设出过B点的直线，与椭圆联立，利用韦达定理、弦长公式、不等式性质，结合已知条件能求出△DEF面积的最大值S，并能求出相应的直线方程．

（1）∵椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点A（﹣1，），B（），F为椭圆C的左焦点．

∴，解得a2＝2，b2＝1，

∴椭圆C的标准方程为＝1．

（Ⅱ）点B为直线l1：x+y+2＝0与直线l2：2x﹣y+4＝0的交点，

联立，得B（﹣2，0），

设D（x1，y1），E（x2，y2），由题意设直线l的方程为x＝my﹣2，

代入椭圆方程得（m2+2）y2﹣4my+2＝0，

则△＝16m2﹣8（m2+2）＝8m2﹣16＞0，∴m2＞2，

，y1y2＝，

∴S△DEF＝S△BEF﹣S△BDF＝|BF||y1﹣y2|＝＝≤，

当且仅当＝，即m2＝6（满足△＞0）时取得等号，

∴△DEF面积的最大值S＝，

此时直线1的方程为x＝，即y＝（x+2）．