Question

如图，在矩形ABCD中，已知AB=2AD=4，E为AB的中点，现将△AED沿DE折起，使点A到点P处，满足PB=PC，设M、H分别为PC、DE的中点．
（1）求证：BM∥平面PDE；
（2）线段BC上是否存在一点N，使BC⊥平面PHN？试证明你的结论；
（3）求△PBC的面积．

Answer 1

证明：（1）取PD的中点F，连接EF，FM
由条件知：FM平行且等于DC的一半，EB平行且等于DC的一半
∴FM∥EB，且FM=EB
则四边形EFMB是平行四边形
则BM∥EF
∵BM?平面PDE，EF?平面PDE
∴BM∥平面PDE；
（2）当N为BC的中点时，BC⊥平面PHN，理由如下：
由题意得，HN为直角梯形BCDE的中位线
∴HN⊥BC
∵PB=PC
∴PN⊥BC
又∵HN∩PN=N
∴BC⊥平面PHN，
（3）由（2）中结论可得，BC⊥PH，
又∵PH⊥DE
故PH⊥底面BCDE
则PH⊥HN，即△PHN为直角三角形
∵AB=2AD=4，E为AB的中点
∴BC=2，HN=3，PH=

2

，则PN=

11

∴△PBC的面积S=

1

2

•BC•PN=

11