Question

（文科）已知函数f（x）=x³-3ax-1（a≠0）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=1，且f（x）-m＜0在[-2，3]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求f′（x），依据导数与函数单调性的关系解不等式即可，要分a＜0，a＞0两种情况讨论．
（Ⅱ）当a=1时f（x）可求出，f（x）-m＜0即f（x）＜m在[-2，3]上恒成立可转化为f（x）在[-2，3]上的最大值小于m，从而可求出m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-3a，
①当a＜0时，f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增；
②当a＞0时，由f′（x）＞0即3x²-3a＞0解得x＜-

a

或x＞

a

，由f′（x）＜0得-

a

＜x＜

a

，
∴f（x）的单调增区间为（-∞，-

a

）和（

a

，+∞）；f（x）的单调减区间是（-

a

，

a

）．
（Ⅱ）若a=1，则f（x）=x³-3x-1，
由（Ⅰ）知f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，
而f（-1）=1，f（3）=17，∴f（x）在[-2，3]上的最大值是17．
∵f（x）-m＜0即f（x）＜m在[-2，3]上恒成立等价于f（x）在[-2，3]上的最大值小于m．∴17＜m．
故实数m的取值范围为（17，+∞）．

点评：本题考查了导数的应用：导数与函数单调性的关系．不等式恒成立问题常转化为函数的最值问题处理．