Question

（本小题满分12分）

已知一四棱锥P－ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点。

（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积；

（Ⅱ）当点E在何位置时，BD⊥AE？证明你的结论;

（Ⅲ）若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）不论点E在何位置，都有BD⊥AE；（Ⅲ）。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）解：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，

侧棱PC⊥底面ABCD，且PC="2."

∴----------------------------2分

(Ⅱ) 不论点E在PC上何位置，都有BD⊥AE---------------------------------------3分

证明如下：连结AC，∵ABCD是正方形

∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且平面　∴BD⊥PC-----------5分

又∵∴BD⊥平面PAC　

∵不论点E在何位置，都有AE平面PAC 

∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE ----------------------------------------------7分

(Ⅲ) 解法一：在平面DAE内过点D作DG⊥AE于G，连结BG

∵CD="CB,EC=EC," ∴≌

∴ED="EB," ∵AD=AB ∴△EDA≌△EBA

∴BG⊥EA ∴为二面角D－EA－B的平面角--------------------------10分

∵BC⊥DE,   AD∥BC ∴AD⊥DE

在Rｔ△ADE中==BG

在△DGB中，由余弦定理得

∴=-----------------------12分

[解法二：以点C为坐标原点，CD所在的直线为ｘ轴建立空间直角坐标系如图示：

则,从

设平面ADE和平面ABE的法向量分别为

由可得：，

同理得：。令，则，

∴------10分

设二面角D－AE－B的平面角为，则 ∴------12分

考点：锥体的体积公式；线面垂直的判定定理；线面垂直的性质定理；二面角。

点评：二面角的求法是立体几何中的一个难点。我们解决此类问题常用的方法有两种：①综合法，综合法的一般步骤是：一作二说三求。②向量法，运用向量法求二面角应注意的是计算。很多同学都会应用向量法求二面角，但结果往往求不对，出现的问题就是计算错误。