Question

已知向量，，O是坐标原点，若||=k||，且方向是沿的方向绕着A点按逆时针方向旋转θ角得到的，则称经过一次（θ，k）变换得到．现有向量=（1，1）经过一次（θ₁，k₁）变换后得到，经过一次（θ₂，k₂）变换后得到，…，如此下去，经过一次（θ_n，k_n）变换后得到．设=（x，y），，，则y-x等于（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根据题意，可得（θ₁，k₁）=（1，），即当n=1时，一次（θ₁，k₁）变换将逆时针旋转1弧度，再将所得向量的长度再伸长为原来的倍得到向量．因此当=（1，1）时，运用矩阵变换公式，算出逆时针旋转1弧度所得向量=（cos1-sin1，sin1+cos1），从而得到=（x，y）=（1-，+1），所以y-x=．接下来再对A、B、C、D各项在n=1时的情况进行计算，对照所得结果可得只有B项是正确的选项．
解答：解：根据题意，，
∴一次（θ₁，k₁）变换就是将向量逆时针旋转1弧度，
再将长度伸长为原来的倍，
即由逆时针旋转1弧度而得，且=
设向量逆时针旋转1弧度，所得的向量为=（x'，y'）
则有•=，
∴，即向量逆时针旋转1弧度，
得到向量=（cos1-sin1，sin1+cos1），再将的模长度伸长为原来的倍，
得到=（cos1-sin1，sin1+cos1）=（1-，+1）
因此当n=1时，=（x，y）=（1-，+1）
即，由此可得y-x=+1-（1-）=
对于A，当n=1时===2，与计算结果不相等，故A不正确；
对于B，当n=1时==，与计算结果相等，故B正确；
对于C，当n=1时==，与计算结果不相等，故C不正确；
对于D，当n=1时===2，与计算结果不相等，故D不正确
综上所述，可得只有B项符合题意
故选：B
点评：本题给出向量的旋转和伸缩，求向量=（1，1）经过n变换（θ_n，k_n）后得到的向量坐标，着重考查了向量的线性运算、用矩阵解决向量旋转问题和数列的通项公式等知识，属于中档题．