Question

1．已知函数y=ax³+bx²，当x=1时，函数有极大值3
（1）求a，b的值
（2）求函数y的极小值．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，结合函数的极大值建立方程关系进行求解即可．
（2）根据函数极值的定义进行求解即可．

解答 解：（1）函数的导数f′（x）=3ax²+2bx，
∵当x=1时，函数有极大值3
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=3}\\{f′（1）=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a+b=3}\\{3a+2b=0}\end{array}\right.$．得$\left\{\begin{array}{l}{a=-6}\\{b=9}\end{array}\right.$，
经检验x=1是函数的极大值，
故a=-6，b=9．
（2）当a=-6，b=9时，f（x）=-6x³+9x²，
f′（x）=-18x²+18x，
由f′（x）＞0得0＜x＜1，
由f′（x）＜0得x＞1或x＜0，
即当x=1时函数取得极大值3，
当x=0时，函数取得极小值f（0）=0．

点评 本题主要考查函数极值的求解和应用，根据函数极值和函数导数之间的关系，建立方程关系是解决本题的关键．