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如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,
AB=BC=数学公式,BB1=3,D为A1C1的中点,F在线段AA1上.
(1)AF为何值时,CF⊥平面B1DF?
(2)设AF=1,求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.

解:(1)因为直三棱柱ABC-A1B1C1中,
BB1⊥面ABC,∠ABC=
以B点为原点,BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.
因为AC=2,∠ABC=90°,所以AB=BC=
从而B(0,0,0),A,C,B1(0,0,3),A1,C1,D,E
所以
设AF=x,则F(,0,x),.,所以
要使CF⊥平面B1DF,只需CF⊥B1F.
=2+x(x-3)=0,得x=1或x=2,
故当AF=1或2时,CF⊥平面B1DF.(5分)
(2)由(1)知平面ABC的法向量为n1=(0,0,1).
设平面B1CF的法向量为n=(x,y,z),则由
令z=1得
所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值
分析:本题适合建立空间坐标系得用向量法解决这个立体几何问题,建立空间坐标系,给出有关点的坐标,设出点F的坐标,(I)由线面垂直转化为线的方向向量与面的法向量垂直,利用二者内积为零建立关于参数的方程参数.(II)求出两平面的法向量,利用夹角公式求二面角的余弦值即可.
点评:考查用空间向量为工具解决立体几何问题,此类题关键是找清楚线的方向向量、面的法向量以及这些向量内积为0、共线等与立体几何中线面、面面位置关系的对应.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=1,CB=
2
,侧棱AA1=1,侧面AA1B1B的两条对角线交于点D,B1C1的中点为M,求证:CD⊥平面BDM.

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精英家教网如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D为A1C1的中点,E为B1C的中点.
(1)求直线BE与A1C所成的角;
(2)在线段AA1中上是否存在点F,使CF⊥平面B1DF,若存在,求出|
AF
|;若不存在,说明理由.

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精英家教网如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中∠ACB=90°,AA1=2,AC=BC=1,则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是
 

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如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1=2,M,N分别为AC,B1C1的中点.
(Ⅰ)求线段MN的长;
(Ⅱ)求证:MN∥平面ABB1A1
(Ⅲ)线段CC1上是否存在点Q,使A1B⊥平面MNQ?说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=a,AA1=2a,D棱B1B的中点.
(Ⅰ)证明:A1C1∥平面ACD;
(Ⅱ)求异面直线AC与A1D所成角的大小;
(Ⅲ)证明:直线A1D⊥平面ADC.

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