Question

16．函数f（x）=ln（2x）+2x-a（a∈R）．若存在b∈[1，e]（e是自然对数的底数），使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（　　）

• A． [1，e+1]
• B． [ln2+1，e+ln2+1]
• C． [e，e+1]
• D． [ln2，e+ln2]

Answer 1

分析 由f（f（b））=b，可得y=f（x）的图象与函数y=f^-1（x）的图象有交点，且交点的横坐标b∈[1，e]，根据ln（2x）+2x-a=x，（a∈R），化简整理得ln2x=-x+a，记F（x）=ln2x，G（x）=-x+a，在同一坐标系内作出它们的图象，数形结合能求出实数a的取值范围．

解答 解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f^-1（b）其中f^-1（x）是函数f（x）的反函数
因此命题“存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立”，转化为
“存在b∈[1，e]，使f（b）=f^-1（b）”，
即y=f（x）的图象与函数y=f^-1（x）的图象有交点，
且交点的横坐标b∈[1，e]，
∵y=f（x）的图象与y=f^-1（x）的图象关于直线y=x对称，
∴y=f（x）的图象与函数y=f^-1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，
由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈[1，e]，
根据ln（2x）+2x-a=x，（a∈R），化简整理得ln2x=-x+a
记F（x）=ln2x，G（x）=-x+a，在同一坐标系内作出它们的图象，
结合图象，得$\left\{\begin{array}{l}{F（1）≤G（1）}\\{F（e）≥G（e）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{ln2≤-1+a}\\{ln（2e）≥-e+a}\end{array}\right.$，解之得1+ln2≤a≤e+1+ln2
即实数a的取值范围为[ln2+1，e+ln2+1]
故选：B．

点评 本题给出含有根号与指数式的基本初等函数，在存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立的情况下，求参数a的取值范围．着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的零点存在性定理和互为反函数的两个函数的图象特征等知识，属于中档题．