Question

（1）选修4-2：矩阵与变换
已知向量在矩阵变换下得到的向量是．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求曲线y²-x+y=0在矩阵M^-1对应的线性变换作用下得到的曲线方程．
（2）选修4-4：极坐标与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点M的极坐标为，曲线C的参数方程为（α为参数）．
（Ⅰ）求直线OM的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点M到曲线C上的点的距离的最小值．
（3）选修4-5：不等式选讲
设实数a，b满足2a+b=9．
（Ⅰ）若|9-b|+|a|＜3，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a，b＞0，且z=a²b，求z的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）（Ⅰ）由条件求得 ，从而求得m 的值．
（Ⅱ）先求得，，设曲线y²-x+y=0上任意一点（x，y）在矩阵M^-1所对应的线性变换作用下的像是（x'，y'），由矩阵变换的法则得代入曲线y²-x+y=0得y'²=x'，由此得出结论．
（2）（Ⅰ）由点M的极坐标为得点M的直角坐标为（4，4），由此求得直线OM的直角坐标方程．
（Ⅱ）由曲线C的参数方程化为普通方程，可得表示一个圆，求出M到圆心的距离，减去半径，即得所求．
（3）（Ⅰ）由2a+b=9得|6-b|=2|a|．不等式化为3|a|＜3，即|a|＜1，从而解得a的取值范围．
（Ⅱ）由 a，b＞0，且z=a²b，利用平均值不等式求得z的最大值．
解答：（1）解：（Ⅰ）因为 ，
所以，，即m=1．…（3分）
（Ⅱ）因为，所以．…（4分）
设曲线y²-x+y=0上任意一点（x，y）在矩阵M^-1所对应的线性变换作用下的像是（x'，y'）．
由，…（5分）
所以得代入曲线y²-x+y=0得y'²=x'．…（6分）
由（x，y）的任意性可知，曲线y²-x+y=0在矩阵M^-1对应的线性变换作用下的曲线方程为y²=x．…（7分）
（2）解：（Ⅰ）由点M的极坐标为得点M的直角坐标为（4，4），
所以直线OM的直角坐标方程为y=x．…（3分）
（Ⅱ）由曲线C的参数方程（α为参数）
化为普通方程为（x-1）²+y²=2，…（5分）
圆心为A（1，0），半径为r=．
由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离最小值为MA-r=5-．…（7分）
（3）解：（Ⅰ）由2a+b=9得9-b=2a，即|6-b|=2|a|．
所以|9-b|+|a|＜3可化为3|a|＜3，即|a|＜1，解得-1＜a＜1．
所以a的取值范围-1＜a＜1．…（4分）
（Ⅱ）因为a，b＞0，所以=27，…（6分）
当且仅当a=b=3时，等号成立．
故z的最大值为27．…（7分）
点评：本小题主要考查矩阵与变换等基础知识；考查参数方程、极坐标方程等基础知识；考查绝对不等式、不等式证明等基础知识．考查数形结合思想考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．