Question

已知两个定点A、B的坐标分别为（-1，0）和（1，0），动点P满足

AP

•

OB

=

|PB|

（O为坐标原点）．
（I）求动点P的轨迹E的方程；
（II）过点C（0，1）的直线l与轨迹E在x轴上方部分交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于D点，求D点横坐标的取值范围．

Answer 1

分析：（I）设P（x，y），则

AP

=(x+1，y)，

OB

=(1，0)，

PB

=(x-1，y)，由题意知x+1=

(x-1)2+y2

，所以动点P的轨迹E的方程是y²=4x．
（II）设直线l的方程为x=k（y-1），代入轨迹E的方程y²=4x，整理得：y²-4ky+4k=0．由题意知k＞1．由根与系数的关系可得MN的中点坐标为（k（2k-1），2k），由此可知线段MN垂直平分线方程为：y-2k=-k[x-k（2k-1）]，由此能够求出D点横坐标的取值范围．

解答：解：（I）设P（x，y），则

AP

=(x+1，y)，

OB

=(1，0)，

PB

=(x-1，y)，
∵动点P满足

AP

•

OB

=

|PB|

（O为坐标原点），
∴x+1=

(x-1)2+y2

，整理得y²=4x．
∴动点P的轨迹E的方程是y²=4x．
（II）设直线l的方程为x=k（y-1），
代入轨迹E的方程y²=4x，整理得：y²-4ky+4k=0．
由题意知，（4k）²-4×4k＞0且4k＞0，解得k＞1．
由根与系数的关系可得MN的中点坐标为（k（2k-1），2k），
∴线段MN垂直平分线方程为：y-2k=-k[x-k（2k-1）]，
令y=0，得D点的横坐标x₀=2k²-k+2，
∵k＞1，
∴x₀＞3，即为所求

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．