Question

5．已知点F是抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，点A（m，2）在抛物线C上，且AF=2
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知点G（-1，0），过点F的直线交抛物线于M、N两点，求证：∠MGF=∠NGF．

Answer 1

分析 （1）根据AF=2，求得m=2-$\frac{p}{2}$．再把点A（m，2）代入抛物线C的方程，求得p的值，可得抛物线C的方程．
（2）设MN的方程为y-0=k（x-1），代入抛物线C：y²=4x，利用韦达定理．要证∠MGF=∠NGF，只要证GM、GN的斜率相反即可．再根据GM、GN斜率之和为$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$，利用韦达定理求得它为零，从而证得结论．

解答 解：（1）由题意可得F（$\frac{p}{2}$，0），AF=2=m-（-$\frac{p}{2}$）=m+$\frac{p}{2}$，即m=2-$\frac{p}{2}$．
再把点A（m，2）代入抛物线C：y²=2px，可得4=2p（2-$\frac{p}{2}$），求得p=2，
故抛物线C的方程：y²=4x，故焦点F（1，0）．
（2）设MN的方程为y-0=k（x-1），即 y=kx-k，代入抛物线C：y²=4x 可得k²•x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{{2k}^{2}+4}{{k}^{2}}$=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁•x₂=1．
要证∠MGF=∠NGF，只要证GM、GN的斜率相反即可，即GM、GN斜率之和等于零．
再根据GM、GN斜率之和为 $\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$=$\frac{{kx}_{1}-k}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{kx}_{2}-k}{{x}_{2}+1}$=$\frac{k{（x}_{1}-1）{（x}_{2}+1）+k{（x}_{2}-1）{（x}_{1}+1）}{{（x}_{1}+1）{（x}_{2}+1）}$=$\frac{2k{（x}_{1}{•x}_{2}-1）}{{（x}_{1}+1）{（x}_{2}+1）}$=0，
故∠MGF=∠NGF成立．

点评 本题主要考查抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系，韦达定理，体现了转化的数学思想，属于中档题．