Question

【题目】正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如图E、F分别是BB1 ， CD的中点，
（1）求证：D1F⊥AE；
（2）求直线EF与CB1所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：依题意知D（0，0，0），A（2，0，0），F（0，1，0），E（2，2，1），A1（2，0，2），D1（0，0，2），

=（0，0，1）， =（0，1，﹣2），

∴ =0，

∴AE⊥D1F；

∵AD⊥平面CDD1C1，D1F平面CDD1C1，

∴D1F⊥AD，

∵AE平面ADE，AD平面ADE，AE∩AD=A，

∴D1F⊥平面ADE

（2）解：依题意可知B1（1，1，1），C（0，1，0），F（0，1，0），E（2，2，1），

∴ =（2，1，1）， =（1，0，1），

∴cos＜ ， ＞= ，

∴异面直线EF和CB1所成的角余弦值为

【解析】（1）依题意分别求得A，E，D1和F的坐标，求出 ， ，二者相乘等于0即可证明出AE⊥D1F进而根据线面垂直的性质证明出D1F⊥AD，最后根据线面垂直的判定定理证明出D1F⊥平面ADE．（2）分别求得 =（2，1，1）， =（1，0，1），利用向量的夹角公式求得异面直线所成角的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了异面直线及其所成的角的相关知识点，需要掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系才能正确解答此题．