Question

如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B=60°，F在AC上，
且AE=AF．
（1）证明：B，D，H，E四点共圆；
（2）证明：CE平分∠DEF．

Answer 1

解：（I）在△ABC中，因为∠B=60°
所以∠BAC+∠BCA=120°
因为AD，CE是角平分线
所以∠AHC=120°（3分）
于是∠EHD=∠AHC=120°
因为∠EBD+∠EHD=180°，所以B，D，H，E四点共圆（5分）
（II）连接BH，则BH为∠ABC得平分线，得∠HBD=30°
由（I）知B，D，H，E四点共圆
所以∠CED=∠HBD=30°（8分）又∠AHE=∠EBD=60°
由已知可得，EF⊥AD，可得∠CEF=30°
所以CE平分∠DEF

分析：（I），要证明B，D，H，E四点共圆，根据四点共圆定理只要证∠EBD+∠EHD=180°即可
（II）由（I）知B，D，H，E四点共圆可得∠CED=30°，要证CE平分∠DEF，只要证明∠CEF=30°即可
点评：本题主要证明平面几何中四点共圆的判定理及性质定理的综合应用，解决此类问题的关键是灵活利用平面几何的定理，属于基本定理的简单运用．