Question

10．设向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，1），向量$\overrightarrow{b}$=$（\sqrt{3}cosx，\;\;sin2x-\sqrt{3}）$，函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（Ⅰ）若$α∈（\frac{π}{2}，\;π）$，且sinα=$\frac{5}{13}$，求$f（\frac{α}{2}）$的值；
（Ⅱ）已知△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2$\sqrt{3}$，b=3$\sqrt{2}$，f（A）=1，求c．

Answer 1

分析 （I）利用数量积得坐标运算和两角和的正弦公式，二倍角公式，化简f（x），再代入即可求出答案；
（II）由f（A）=1，求出A的大小，由正弦定理或余弦定理即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由题$f（x）=a•b=（2cosx，1）•（\sqrt{3}cosx，sin2x-\sqrt{3}）=2\sqrt{3}{cos^2}x+sin2x-\sqrt{3}$，
=$\sqrt{3}（2{cos^2}x-1）+sin2x=\sqrt{3}cos2x+sin2x$，
=2sin（$2x+\frac{π}{3}$）．
由$α∈（\frac{π}{2}，\;π）$，$sinα=\frac{5}{13}$，得$cosα=-\frac{12}{13}$，
所以$f（\frac{α}{2}）=2sin（α+\frac{π}{3}）=sinα+\sqrt{3}cosα$=$\frac{5}{13}+\sqrt{3}×（-\frac{12}{13}）=\frac{{5-12\sqrt{3}}}{13}$．
（Ⅱ） 由f（A）=1，得$2sin（2A+\frac{π}{3}）=1$，则$sin（2A+\frac{π}{3}）=\frac{1}{2}$，
由于a＜b，所以A＜B，则$0＜A＜\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}＜2A+\frac{π}{3}＜\frac{4π}{3}$，
所以$2A+\frac{π}{3}=\frac{5π}{6}$，则$A=\frac{π}{4}$．
方法一：由$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，得$\frac{{2\sqrt{3}}}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{sinB}$，于是sinB=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，所以B=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．
又由$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，得$\frac{{2\sqrt{3}}}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}=\frac{c}{sin（B+A）}$，于是$c=2\sqrt{6}sin（B+A）$，
当B=$\frac{π}{3}$时，$c=2\sqrt{6}sin（\frac{π}{4}+\frac{π}{3}）=3+\sqrt{3}$；
当B=$\frac{2π}{3}$时，$c=2\sqrt{6}sin（\frac{π}{4}+\frac{2π}{3}）=3-\sqrt{3}$．
方法二：由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
所以${（2\sqrt{3}）^2}={（3\sqrt{2}）^2}+{c^2}-6\sqrt{2}ccos\frac{π}{4}$，即c²-6c+6=0，
解得c=$3±\sqrt{3}$．

点评 本题考查了数量积得坐标运算和两角和的正弦公式及二倍角公式、正弦定理，余弦定理等属于中档题．