Question

15．若方程$\frac{{x}^{2}}{2-m}$+$\frac{{y}^{2}}{m-1}$=1表示椭圆，试求m的取值范围，若此方程表示双曲线呢？

Answer 1

分析 由题意知方程$\frac{{x}^{2}}{2-m}$+$\frac{{y}^{2}}{m-1}$=1表示椭圆，$\left\{\begin{array}{l}{2-m＞0}\\{m-1＞0}\\{2-m≠m-1}\end{array}\right.$；根据双曲线的标准方程，可得只需2-m与m-1异号即可，则解不等式（2-m）（m-1）＜0即可．

解答 解：由题意知方程$\frac{{x}^{2}}{2-m}$+$\frac{{y}^{2}}{m-1}$=1表示椭圆，$\left\{\begin{array}{l}{2-m＞0}\\{m-1＞0}\\{2-m≠m-1}\end{array}\right.$，∴1＜m＜2且m≠$\frac{3}{2}$；
方程表示双曲线，则（2-m）（m-1）＜0，解得m＜1或m＞2．

点评 本题主要考查了椭圆、双曲线的定义，属基础题；解答的关键是根据椭圆、双曲线的标准方程建立不等关系．