Question

20．在△ABC中，角A为钝角，AB=1，AC=3，AD为BC边上的高，已知$\overrightarrow{AD}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，则x的取值范围为（　　）

• A． （$\frac{3}{4}$，$\frac{9}{10}$）
• B． （$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{10}$）
• C． （$\frac{3}{5}$，$\frac{3}{4}$）
• D． （$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）

Answer 1

分析 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{BC}$=$（1-k）\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC}$，这样即可得出x+y=1，而根据$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=0$便可得到$（x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}）•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）=0$．进行数量积的运算便可得到3（x-y）cosA-x+9y=0，带入y=1-x可求得$x=\frac{3cosA-9}{6cosA-10}=\frac{1}{2}-\frac{2}{3cosA-5}$，由A为钝角便知-1＜cosA＜0，从而可求出$\frac{2}{3cosA-5}$的范围，这便可求出x的取值范围．

解答 解：如图，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{BC}$共线；
∴$\overrightarrow{BD}=k\overrightarrow{BC}=k\overrightarrow{AC}-k\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{AD}=（1-k）\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC}$；
又$\overrightarrow{AD}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$；
∴x+y=1；
$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=0$；
∴$（x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}）•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=3（x-y）cosA-x+9y=0；
将y=1-x带入上式并整理得：
（6cosA-10）x=3cosA-9；
∴$x=\frac{3cosA-9}{6cosA-10}=\frac{\frac{1}{2}（6cosA-10）-4}{6cosA-10}$=$\frac{1}{2}-\frac{2}{3cosA-5}$；
∵A为钝角；
∴-1＜cosA＜0；
∴-8＜3cosA-5＜-5；
∴$\frac{1}{4}＜-\frac{2}{3cosA-5}＜\frac{2}{5}$；
∴$\frac{3}{4}＜x＜\frac{9}{10}$；
∴x的取值范围为（$\frac{3}{4}，\frac{9}{10}$）．
故选A．

点评 考查向量加法、减法的几何意义，共线向量、平面向量基本定理，以及向量垂直的充要条件，数量积的运算及其计算公式，分离常数求变量范围的方法．