Question

5．设函数f（x）=|e^x-e^2a|，若f（x）在区间（-1，3-a）内的图象上存在两点，在这两点处的切线相互垂直，则实数a的取值范围是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 求出函数f（x）的表达式，利用数形结合，结合导数的几何意义进行求解即可．

解答 解：当x≥2a时，f（x）=|e^x-e^2a|=e^x-e^2a，此时为增函数，
当x＜2a时，f（x）=|e^x-e^2a|=-e^x+e^2a，此时为减函数，
即当x=2a时，函数取得最小值0，设两个切点为M（x₁，f（x₁）），N（（x₂，f（x₂）），
由图象知，当两个切线垂直时，必有，x₁＜2a＜x₂，
即-1＜2a＜3-a，得-$\frac{1}{2}$＜a＜1，
∵k₁k₂=f′（x₁）f′（x₂）=${e}^{{x}_{1}}$$•（-{e}^{{x}_{2}}）$=-${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$=-1，
则${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$=1，即x₁+x₂=0，
∵-1＜x₁＜0，∴0＜x₂＜1，且x₂＞2a，
∴2a＜1，解得a＜$\frac{1}{2}$，
综上-$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$，
故答案为：（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）

点评 本题主要考查导数的几何意义的应用，利用数形结合以及直线垂直的性质是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．