如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知AD=4, BD=,AB=2CD=8.
(1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD⊥平面PAD;
(2)求四棱锥P-ABCD的体积.
(1)对于面面垂直的证明,主要是利用线面垂直来结合判定定理得到。
(2)24
解析试题分析:(Ⅰ)在△ABD中,∵AD=4, BD=,
AB=8,∴. 2分
∴ AD⊥BD又 ∵平面PAD⊥平面ABCD,
平面PAD平面ABCD=AD,BD平面ABCD, 4分
∴BD⊥平面PAD.又BD平面MBD,
∴平面MBD⊥平面PAD. 7分
(Ⅱ)过P作PO⊥AD交AD于O, ∵平面PAD⊥平面ABCD,
∴PO⊥平面ABCD.即PO为四棱锥P-ABCD的高. 8分
又 ∵△PAD是边长为4的等边三角形,∴.
在Rt△ADB中,斜边AB边上的高为,此即为梯形ABCD的高. 12分∴梯形ABCD的面积故 14分
考点:面面垂直的证明,以及体积公式
点评:解决的关键是通过面面垂直的判定定理,以及棱锥的体积公式来得到,属于基础题。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图所示,在三棱锥PABC中,已知PC⊥平面ABC,点C在平面PBA内的射影D在直线PB上.
(1)求证:AB⊥平面PBC;
(2)设AB=BC,直线PA与平面ABC所成的角为45°,求异面直线AP与BC所成的角;
(3)在(2)的条件下,求二面角C-PA-B的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2, E,F,G分别是PC,PD,BC的中点.
(1)求三棱锥E-CGF的体积;
(2)求证:平面PAB//平面EFG;
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图甲,在平面四边形ABCD中,已知,,现将四边形ABCD沿BD折起,使平面ABD平面BDC(如图乙),设点E、F分别为棱AC、AD的中点.
(1)求证:DC平面ABC;
(2)求BF与平面ABC所成角的正弦值;
(3)求二面角B-EF-A的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
是双曲线 上一点,、分别是双曲线的左、右顶点,直线,的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率;
(2)过双曲线的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于,两点,为坐标原点,为双曲线上一点,满足,求的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在△中,,,点在上,交于,交于.沿将△翻折成△,使平面平面;沿将△翻折成△,使平面平面.
(Ⅰ)求证:平面.
(Ⅱ)设,当为何值时,二面角的大小为?
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