练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知曲线C1：
    |x|
    a
    +
    |y|
    b
    =1(a＞b＞0)    所围成的封闭图形的面积为4
    		5
    ，曲线C1的内切圆半径为
    2
    		5
    3
    ．记C2为以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
    （Ⅰ）求椭圆C2的标准方程；
    （Ⅱ）设AB是过椭圆C2中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上异于椭圆中心的点．
    （1）若|MO|=λ|OA|（O为坐标原点），当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程；
    （2）若M是l与椭圆C2的交点，求△AMB的面积的最小值．
    分析：（Ⅰ）利用封闭图形的面积为4
    		5
    ，曲线C1的内切圆半径为
    2
    		5
    3
    ，求出a、b的值，待定系数法写出椭圆的标准方程．
    （Ⅱ）（1）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx，代入椭圆的方程，用k表示|OA|的平方，
    由|MO|2=λ2|OA|2，得到|MO|2．再用k表示直线l的方程，并解出k，把解出的k代入|MO|2 的式子，消去k得到
    M的轨迹方程．当k=0或不存在时，轨迹方程仍成立．
    （2）当k存在且k≠0时，由（1）得
    x
    2
    A
    =
    20
    4+5k2
    ，
    y
    2
    A
    =
    20k2
    4+5k2
    ，同理求出点M的横坐标的平方、纵坐标的平方，
    计算出AB的平方，计算出|MO|2，可求出三角形面积的平方，使用基本不等式求出面积的最小值，再求出当k不存在
    及k=0时三角形的面积，比较可得面积的最小值．
    解答：解：（Ⅰ）由题意得
    2ab=4
    		5
    ab
    		a2+b2
    =
    2
    		5
    3
    ，又a＞b＞0，解得  a2=5，b2=4．
    因此所求椭圆的标准方程为   
    x2
    5
    +
    y2
    4
    =1    ．
    （Ⅱ）（1）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx（k≠0），A（xA，yA）．
    解方程组
    x2
    5
    +
    y2
    4
    =1
    y=kx
    得
    x
    2
    A
    =
    20
    4+5k2
    ，
    y
    2
    A
    =
    20k2
    4+5k2
    ，
    所以|OA|2=
    x
    2
    A
    +
    y
    2
    A
    =
    20
    4+5k2
    +
    20k2
    4+5k2
    =
    20(1+k2)
    4+5k2
    ．
    设M（x，y），由题意知|MO|=λ|OA|（λ≠0），
    所以|MO|2=λ2|OA|2，即x2+y2=λ2
    20(1+k2)
    4+5k2
    ，
    因为l是AB的垂直平分线，所以直线l的方程为y=-
    1
    k
    x    ，即k=-
    x
    y
    ，
    因此x2+y2=λ2
    20(1+
    x2
    y2
    )
    4+5•
    x2
    y2
    =λ2
    20(x2+y2)
    4y2+5x2
    ，
    又x2+y2≠0，所以5x2+4y2=20λ2，故
    x2
    4
    +
    y2
    5
    =λ2    ．
    又当k=0或不存在时，上式仍然成立．
    综上所述，M的轨迹方程为
    x2
    4
    +
    y2
    5
    =λ2(λ≠0)    ．
    （2）当k存在且k≠0时，由（1）得
    x
    2
    A
    =
    20
    4+5k2
    ，
    y
    2
    A
    =
    20k2
    4+5k2
    ，
    由
    x2
    5
    +
    y2
    4
    =1
    y=-
    1
    k
    x

    解得
    x
    2
    M
    =
    20k2
    5+4k2
    ，
    y
    2
    M
    =
    20
    5+4k2
    ，
    所以|OA|2=
    x
    2
    A
    +
    y
    2
    A
    =
    20(1+k2)
    4+5k2
    ，|AB|2=4|OA|2=
    80(1+k2)
    4+5k2
    ，|OM|2=
    20(1+k2)
    5+4k2
    ．
    由于
    S
    2
    △AMB
    =
    1
    4
    |AB|2•|OM|2    =
    1
    4
    ×
    80(1+k2)
    4+5k2
    ×
    20(1+k2)
    5+4k2
    =
    400(1+k2)2
    (4+5k2)(5+4k2)
    ≥
    400(1+k2)2
    (
    4+5k2+5+4k2
    2
    )    2
    =
    1600(1+k2)2
    81(1+k2)2
    =(
    40
    9
    )2    ，
    当且仅当4+5k2=5+4k2时等号成立，即k=±1时等号成立，
    此时△AMB面积的最小值是S△AMB=
    40
    9
    ．
    当k=0，S△AMB=
    1
    2
    ×2
    		5
    ×2=2
    		5
    ＞
    40
    9
    ．
    当k不存在时，S△AMB=
    1
    2
    ×
    		5
    ×4=2
    		5
    ＞
    40
    9
    ．
    综上所述，△AMB的面积的最小值为
    40
    9
    ．
    点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，参数法求轨迹方程，直线与圆锥曲线的位置关系的应用．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知曲线C1：
    x=3+2cosθ
    y=2+2sinθ
    (θ为参数)    ，曲线C2：
    x=1+3t
    y=1-4t
    （t为参数），则C1与C2的位置关系为
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    自选题：已知曲线C1：
    x=cosθ
    y=sinθ
    （θ为参数），曲线C2：
    x=
    		2
    2
    t-
    		2
    y=
    		2
    2
    t
    （t为参数）．
    （Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；
    （Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1′，C2′．写出C1′，C2′的参数方程．C1′与C2′公共点的个数和C与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知曲线C1：
    x=5+t
    y=2t
    （t为参数），C2：
    x=2
    		3
    cosθ
    y=3sinθ
    （θ为参数），点P，Q分别在曲线C1和C2上，求线段|PQ|长度的最小值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•绵阳二模）已知曲线C1：
    x=cosθ
    y=sinθ
    （θ为参数）和曲线C2=：x2+y2-2
    		3
    x+2y+3=0義于直线l1对称，直线l2过原点且与l1的夹角为30°，则直线l2的方程为（　　）

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案