Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-x2+ax+b的图象在点P（0，f（0））处的切线是3x-y-2=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）设t∈[-2，-1]，函数g（x）=f（x）+（m-3）x在（t，+∞）上为增函数，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导数，利用导数的结合意义，即可求a、b的值；
（Ⅱ）求得函数g（x）的解析式，利用函数在（t，+∞）上为增函数，可得t²-2t+m≥0在t∈[-2，-1]上恒成立，利用函数的单调性，即可求m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x²-2x+a，所以切线的斜率k=f′（0）=a，
又切线方程为3x-y-2=0，故a=3．
∵点P（0，b）在切线上，∴b=-2．…（5分）
（Ⅱ）因为f(x)=

1

3

x3-x2+3x-2，
所以g(x)=

1

3

x3-x2+3x-2+(m-3)x=

1

3

x3-x2+mx-2，
所以g′（x）=x²-2x+m，
又g（x）是（t，+∞）上的增函数，所以g′（x）≥0在t∈[-2，-1]上恒成立，…（7分）
即t²-2t+m≥0在t∈[-2，-1]上恒成立，
又函数h（t）=t²-2t+m在t∈[-2，-1]是递减函数，
所以h（x）_min=h（-1）=m+3≥0，
所以m≥-3．…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．