Question

2．如图，在以AB为直径的半圆上有三点P，C，Q，且∠CBA=∠PBQ=45°，BP与AC交于点M，过点M作PQ的平行线，交BQ于点N．
（1）求证：NA⊥AM；
（2）若AB=2，P是弧$\widehat{BC}$的中点，求四边形ABMN的面积．

Answer 1

分析 （1）连接AQ，CP，证明：△ABN∽△PBC，得到∠BAN=∠BPC，结合四边形ABPC是圆内接四边形，证明NA⊥AM；
（2）四边形的面积分割成两个三角形的面积的和，即可求四边形ABMN的面积．

解答 （1）证明：连接AQ，CP，
∵MN∥PQ，∴$\frac{BQ}{BN}=\frac{BP}{BM}$，
即BN•BP=BQ•BM，
∵∠CBA=∠PBQ=45°，∴∠ABQ=∠MBC，
又∵∠AQB=∠MCB=90°
∴△AQB∽△MCB，∴$\frac{AB}{BQ}=\frac{BM}{BC}$，即AB•BC=BQ•BM，
∴AB•BC=BN•BP，∴△ABN∽△PBC，
∴∠BAN=∠BPC，
又∵四边形ABPC是圆内接四边形，
∴∠BPC=180°-∠BAC=135°，∴∠BAN=135°，
∴∠MAN=∠BAN-∠BAM=90°，∴NA⊥AM；                  …（5分）
（2）解：∵P是$\widehat{BC}$的中点，∴BP=PC，
由（Ⅰ）得AB=AN，∠PBC=∠PCB，
∵∠PCB=∠PQB，∠PBC=∠QBA，∴∠PQB=∠QBA，
∴AB∥PQ，∴AB∥MN，∴∠ANM=∠AMN=∠BAC=45°，
∴△MAN是等腰直角三角形，
又∵P是$\widehat{BC}$的中点，AB∥PQ，
∴Q是$\widehat{AC}$中点，∴∠ABQ=22.5°，∴∠MNB=∠ABN=22.5°，
∴∠ANB=∠ANM-∠BNM=22.5°，∴∠ANB=∠ABN，
∴AN=AM=AB=2，
∴${S_{ABMN}}={S_{△ABM}}+{S_{△NAM}}=\frac{1}{2}×2×2×sin45°+\frac{1}{2}×2×2=2+\sqrt{2}$．       …（10分）

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查四边形面积的计算，正确证明三角形相似是关键．