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2.如图,在以AB为直径的半圆上有三点P,C,Q,且∠CBA=∠PBQ=45°,BP与AC交于点M,过点M作PQ的平行线,交BQ于点N.
(1)求证:NA⊥AM;
(2)若AB=2,P是弧$\widehat{BC}$的中点,求四边形ABMN的面积.

分析 (1)连接AQ,CP,证明:△ABN∽△PBC,得到∠BAN=∠BPC,结合四边形ABPC是圆内接四边形,证明NA⊥AM;
(2)四边形的面积分割成两个三角形的面积的和,即可求四边形ABMN的面积.

解答 (1)证明:连接AQ,CP,
∵MN∥PQ,∴$\frac{BQ}{BN}=\frac{BP}{BM}$,
即BN•BP=BQ•BM,
∵∠CBA=∠PBQ=45°,∴∠ABQ=∠MBC,
又∵∠AQB=∠MCB=90°
∴△AQB∽△MCB,∴$\frac{AB}{BQ}=\frac{BM}{BC}$,即AB•BC=BQ•BM,
∴AB•BC=BN•BP,∴△ABN∽△PBC,
∴∠BAN=∠BPC,
又∵四边形ABPC是圆内接四边形,
∴∠BPC=180°-∠BAC=135°,∴∠BAN=135°,
∴∠MAN=∠BAN-∠BAM=90°,∴NA⊥AM;                  …(5分)
(2)解:∵P是$\widehat{BC}$的中点,∴BP=PC,
由(Ⅰ)得AB=AN,∠PBC=∠PCB,
∵∠PCB=∠PQB,∠PBC=∠QBA,∴∠PQB=∠QBA,
∴AB∥PQ,∴AB∥MN,∴∠ANM=∠AMN=∠BAC=45°,
∴△MAN是等腰直角三角形,
又∵P是$\widehat{BC}$的中点,AB∥PQ,
∴Q是$\widehat{AC}$中点,∴∠ABQ=22.5°,∴∠MNB=∠ABN=22.5°,
∴∠ANB=∠ANM-∠BNM=22.5°,∴∠ANB=∠ABN,
∴AN=AM=AB=2,
∴${S_{ABMN}}={S_{△ABM}}+{S_{△NAM}}=\frac{1}{2}×2×2×sin45°+\frac{1}{2}×2×2=2+\sqrt{2}$.       …(10分)

点评 本题考查三角形相似的判定与性质,考查四边形面积的计算,正确证明三角形相似是关键.

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