Question

等比数列{c_n}满足c_n+1+c_n=5•2^2n-1，n∈N^*，数列{a_n}满足a_n=log₂c_n
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}满足b_n=

1

an•an+1

，T_n为数列{b_n}的前n项和．求证：T_n＜

1

2

；
（Ⅲ）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出所有m，n 的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据c_n+1+c_n=5•2^2n-1求出公比q和首项，从而求出数列{c_n}的通项公式，即可求得{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）根据数列通项的特点可利用裂项求和法求出数列{b_n}的前n项和T_n，从而可证得T_n＜

1

2

；
（Ⅲ）假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列，建立等式关系，用m表示出n，再根据m∈N^*，m＞1，可求出所求．

解答：解（Ⅰ）∵c_n+1+c_n=5•2^2n-1，n∈N⁺，
∴c₁+c₂=10，c₂+c₃=q（c₁+c₂）=40，
∴公比q=4，
∵c₁+c₂=c₁+c_1^q=10，
解得c₁=2，
∴{c_n}的通项公式为c_n=2•4^n-1=2^2n-1，
∴a_n=log₂c_n=2n-1；
（Ⅱ）∵b_n=

1

an•an+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

1

2

（1-

1

2n+1

），
∵n∈N^*，
∴

1

2n+1

＞0，∴T_n＜

1

2

；
（Ⅲ）假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列，
则(

m

2m+1

)2=

1

3

•

n

2n+1

，
∴

3

n

=

-2m2+4m+1

m2

＞0，
∵分子为正，
∴1-

6

2

＜m＜1+

6

2

，
∵m∈N^*，m＞1，
∴m=2，n=12，
当且仅当m=2，n=12时，T₁，T_m，T_n成等比数列．

点评：本题主要考查了数列的递推关系，等比关系的确定以及裂项求和法的应用，同时考查了分析问题与解决问题的能力，属于中档题．