Question

函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的图象上一个最高点的坐标为 (

π

12

，3)，与之相邻的一个最低点的坐标为 (

7π

12

，-1)．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ） 当x∈[

π

2

，π]，求函数f（x）的单调递增区间和零点．

Answer 1

分析：（I）由已知中函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的图象上一个最高点的坐标为 (

π

12

，3)，与之相邻的一个最低点的坐标为 (

7π

12

，-1)．我们可根据两个最值点的纵坐标求出A，B的值，根据横坐标求出周期T，进而得到ω及φ的值，从而求出求f（x）的表达式；
（Ⅱ）根据由（1）的结论，及正弦型函数单调区间的求法，及零点的定义，我们易得到结论．

解答：解：（Ⅰ）依题意的

T

2

=

7π

12

-

π

12

=

π

2

，所以T=π，于是ω=

2π

T

=2（2分）
由

A+B=3 -A+B=-1

解得

A=2 B=1

（4分）
把(

π

12

，3)代入f（x）=2sin（2x+φ）+1，可得sin(

π

6

+?)=1，所以

π

6

+?=2kπ+

π

2

，
所以?=2kπ+

π

3

，因为|?|＜

π

2

，所以?=

π

3

综上所述，f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1（7分）
（Ⅱ）令f（x）=0，得sin(2x+

π

3

)=-

1

2

，又∵x∈[

π

2

，π]
∴

4π

3

≤2x+

π

3

≤

7π

3

∴2x+

π

3

=

11π

6

故x=

3π

4

函数f（x）的零点是x=

3π

4

（10分）
∵

4π

3

≤2x+

π

3

≤

7π

3

∴由

3π

2

≤2x+

π

3

≤

7π

3

得

7π

12

≤x≤π∴函数f（x）的单调递增区间是[

7π

12

 ， π]（13分）

点评：本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦型函数的性质及函数的零点，其中根据已知中的条件求出函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的解析式，是解答本题的关键．