【题目】已知集合A={x|(x﹣3)(x﹣3a﹣5)<0},函数y=lg(﹣x2+5x+14)的定义域为集合B.
(1)若a=4,求集合A∩B;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:因为集合A={x|(x﹣3)(x﹣3a﹣5)<0},
a=4,所以(x﹣3)(x﹣3a﹣5)<0(x﹣3)(x﹣17)<0,
解得3<x<17,所以A={x|3<x<17},
由函数y=lg(﹣x2+5x+14)可知﹣x2+5x+14>0,解得:﹣2<x<7,
所以函数的定义域为集合B={x|﹣2<x<7},
集合A∩B={x|3<x<7}
(2)解:“x∈A”是“x∈B”的充分条件,即x∈A,则x∈B,集合B={x|﹣2<x<7},
当3a+5>3即a>﹣ 时,3a+5≤7,解得﹣ <a≤ .
当3a+5≤3即a≤﹣ 时,3a+5≥﹣2,解得﹣ ≥a≥﹣ .
综上实数a的取值范围:
【解析】(1)根据a的具体值求得集合A,B的具体取值范围,再求得集合A,B的交集;(2)x∈A,则x∈B,即集合A是集合B的子集.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用集合的交集运算的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握交集的性质:(1)A∩BA,A∩BB,A∩A=A,A∩=,A∩B=B∩A;(2)若A∩B=A,则AB,反之也成立.
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【题目】已知数列{an}中,a1=1,a2=2,以后各项由an=an﹣1+an﹣2(n≥3)给出.
(1)写出此数列的前5项;
(2)通过公式bn= 构造一个新的数列{bn},写出数列{bn}的前4项.
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【题目】联合国教科文组织规定,每年的4月23日是“世界读书日”.某校研究生学习小组为了解本校学生的阅读情况,随机调查了本校400名学生在这一天的阅读时间(单位:分钟),将时间数据分成5组:,并整理得到如下频率分布直方图.
(1)求的值;
(2)试估计该学校所有学生在这一天的平均阅读时间;
(3)若用分层抽样的方法从这400名学生中抽取50人参加交流会,则在阅读时间为的两组中分别抽取多少人?
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【题目】已知直线l与圆C:x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A,B两点,弦AB的中点为M(0,1).
(1)若圆C的半径为 ,求实数a的值;
(2)若弦AB的长为6,求实数a的值;
(3)当a=1时,圆O:x2+y2=2与圆C交于M,N两点,求弦MN的长.
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【题目】如图,在底面是正方形的四棱锥面ABCD,BD交AC于点E,F是PC中点,G为AC上一点.
(1)求证:;
(2)确定点G在线段AC上的位置,使FG//平面PBD,并说明理由;
(3)当二面角的大小为时,求PC与底面ABCD所成角的正切值.
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