Question

（2013•汕尾二模）已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(-

3

2

，

1

2

)．
（Ⅰ）求sin2α-tanα的值；
（Ⅱ）若函数f（x）=cos（x-α）cosα-sin（x-α）sinα，求函数y=

3

f(

π

2

-2x)-2f2(x)的最大值及对应的x的值．

Answer 1

分析：（I）利用三角函数的定义求出sinα、cosα和tanα的值，利用两角和与差正弦公式化简sin2α-tanα并求出其值．
（II）首先化简函数f（x），然后利用诱导公式以及两角和与差公式得出y=2sin（2x-

π

6

）-1，进而求正弦函数的特点求出结果．

解答：解：（Ⅰ）因为角α终边经过点P(-

3

2

，

1

2

)，所以sinα=

1

2

，cosα=-

3

2

，tanα=-

3

3

…（3分）

∴sin2α-tanα=2sinαcosα-tanα…(4分) =- 3 2 + 3 3 =- 3 6 …(5分)

（Ⅱ）∵f（x）=cos（x-α）cosα-sin（x-α）sinα=cosx，x∈R…（7分）

∴y= 3 cos( π 2 -2x)-2cos2x= 3 sin2x-1-cos2x…(9分) =2sin(2x- π 6 )-1…(11分)

∴y_max=2-1=1，…（12分）
此时sin(2x-

π

6

)=1，2x-

π

6

=2kπ+

π

2

即x=kπ+

π

3

，k∈Z…（13分）

点评：此题考查了二倍角的正弦、三角函数定义、同角三角函数间的基本关系、诱导公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．