Question

已知数列{a_n}，a₁=1
（1）若{a_n}是公差为正数的等差数列，求证：

1

a1

+

1

a4

≥

1

a2

+

1

a3

（2）若对任意n∈Nⁿ均有a_n+1=

an

an+1

 求数列{a_n}的通项公式
（3）记（2）中数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：S_2n-S_n＜

3

4

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）若{a_n}是公差为正数的等差数列，根据等差数列的通项公式，结合不等式的证明方法即可证明

1

a1

+

1

a4

≥

1

a2

+

1

a3

（2）若对任意n∈Nⁿ均有a_n+1=

an

an+1

，利用取倒数法，构造等差数列即可，求数列{a_n}的通项公式
（3）利用倒序相加法结合放缩法证明不等式即可．

解答： 解：（1）若{a_n}是公差为正数的等差数列，则a_n＞0，
在等差数列中，不等式

1

a1

+

1

a4

≥

1

a2

+

1

a3

等价为

a1+a4

a1a4

≥

a2+a3

a2a3

，
即

1

a1a4

≥

1

a2a3

，即等价为a₁a₄≤a₂a₃，
∵a₂a₃-a₁a₄=（1+d）（1+2d）-（1+3d）=2d²+3d+1-1-3d=2d²≥0，
∴a₂a₃≥a₁a₄，
即不等式

1

a1

+

1

a4

≥

1

a2

+

1

a3

成立．
（2）由a_n+1=

an

an+1

 得

1

an+1

=

an+1

an

=

1

an

+1，
即

1

an+1

-

1

an

=1，故数列{

1

an

}是以

1

a1

=1为首项，公差d=1的等差数列，
则

1

an

=1+n-1=n，即a_n=

1

n

，故数列{a_n}的通项公式为a_n=

1

n

．
（3）∵a_n=

1

n

，∴S_2n-S_n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，
设T_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，
则2T_n=（

1

n+1

+

1

2n

）+（

1

2n-1

+

1

n+2

）+…+（

1

2n

+

1

n+1

）=

3n+1

2n2+2n

+

3n+1

2n2+3n-2

+…+

3n+1

2n2+2n

，
当n≥2时，分母2n²+2n最小，
即2T_n=

3n+1

2n2+2n

+

3n+1

2n2+3n-2

+…+

3n+1

2n2+2n

＜

3n+1

2n2+2n

+…+

3n+1

2n2+2n

+

3n+1

2n2+2n

=

n(3n+1)

2n2+2n

=

3n+1

2n+2

=

3

2

-

2

2n+2

＜

3

2

，
即T_n＜

3

4

．
则S_2n-S_n＜

3

4

成立．

点评：本题主要考查递推数列的应用，以及数列和不等式的证明，利用倒序相加法以及放缩法是证明不等式的基本方法，综合性较强，难度较大．