Question

设直线y=kx+1与圆C：x²+y²-2kx-2my-7=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+y=0对称，
（Ⅰ）求m，k的值；
（Ⅱ）若直线x=ay+1与C交P，Q两点，是否存在实数a使得OP⊥OQ，如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由M，N关于直线x+y=0对称，可知所求的直线的斜率k=1，根据圆的性质可得直线y+x=0过圆的圆心C（1，m）代入可求m
（Ⅱ）把x=ay+1代入（x-1）²+（y+1）²=9得（1+a²）y²+2y-8=0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y1+y2=

-2

1+a2

，y1y2=

-8

1+a2

，若OP⊥OQ，则有x₁x₂+y₁y₂=0，代入整理可求

解答：解：（Ⅰ）由M，N关于直线x+y=0对称，可知所求的直线的斜率k=1
∵根据圆的性质可得直线y+x=0过圆的圆心C（1，m）
∴m=-1
（Ⅱ）把x=ay+1代入（x-1）²+（y+1）²=9得（1+a²）y²+2y-8=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y1+y2=

-2

1+a2

，y1y2=

-8

1+a2

若OP⊥OQ，则有x₁x₂+y₁y₂=（ay₁+1）（ay₂+1）+y₁y₂=（1+a²）y₁y₂+a（y₁+y₂）+1=-8+

-2a

1+a2

+1=0
即7a²+2a+7=0，方程无实数根，所以满足条件的实数a不存在．

点评：本题主要考查了直线与圆的方程的性质的应用，解（I）的关键是根据圆的性质可得直线x+y=0过圆心的条件，而
（II）是直线与圆的一般类型的试题，体现了方程的思想的应用．