Question

对于余弦定理的证明，我们已给出两种证法：向量法和解析法，你还有其他的证法吗？试设计一种方案．

Answer 1

答案：
解析：

探究过程：还可用三角方法，即构造直角三角形，利用三角函数寻找边角关系． 　　具体方案如下： 　　当∠C是一个锐角时，如图，此时，由c2联想到直角三角形， 　　所以，可构造直角三角形．作AC边上的高BD，在△BCD中， 　　BD＝asinC，CD＝acosC，在△BDA中，AD＝b－acosC， 　　由AB2＝BD2＋AD2可得c2＝(asinC)2＋(b－acosC)2，整理得c2＝a2＋b2－2abcosC． 　　当∠C是钝角时，如图，同理，可构造Rt△BDA，在Rt△BDC中， 　　BD＝asin∠BCD＝asin(180°－∠BCA)＝asin∠BCA， 　　CD＝acos∠BCD＝acos(180°－∠BCA)＝－acos∠BCA， 　　所以AD＝b＋CD＝b－acos∠BCA． 　　而在Rt△ABD中，有AB2＝BD2＋AD2， 　　所以c2＝(asin∠BCA)2＋(b－acos∠BCA)2． 　　整理得c2＝a2＋b2－2abcosC．① 　　所以对任意的△ABC，无论∠C取什么值，上式都成立． 　　同理，有a2＝b2＋c2－2bccosA，② 　　b2＝a2＋c2－2accosB．③ 　　探究结论：所得结论与前面的结论一致．