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【题目】如图,过点P作圆O的割线PBA与切线PE,E为切点,连接AE、BE,∠APE的平分线与AE、BE分别交于点C、D,其中∠AEB=30°.

(1)求证:
(2)求∠PCE的大小.

【答案】
(1)证明:∵PE是圆的切线,∴∠PEB=∠PAC,

∵AE是∠APE的平分线,∴∠EPC=∠APC,

∴△PED∽△PAC,

=

=


(2)解:∵PE是圆的切线,∴∠PEB=∠PAC,

∵AE是∠APE的平分线,∴∠EPC=∠APC,

根据三角形的外角与内角关系有:∠EDC=∠PEB+∠EPC;∠ECD=∠PAC+∠APC,

∴∠EDC=∠ECD,∴△EDC为等腰三角形,

又∠AEB=30°,

∴∠EDC=∠ECD=75°,即∠PCE=75°


【解析】(1)证明△PED∽△PAC,结合角平分线的性质,即可证明结论;(2)利用PE是圆的切线,可得∠PEB=∠PAC,利用AE是∠APE的平分线,可得∠EPC=∠APC,根据三角形的外角与内角关系,可得∠EDC=∠ECD,即可得出结论.

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(1)完成下列列联表:

喜欢看书

不喜欢看书

合计

女生

15

50

男生

25

合计

100

(2)能否在犯错率不超过0.025的前提下认为“喜欢看书与性别有关”.

附:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5024

6.635

7.879

10.828

参考公式:,其中

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(Ⅰ)求分数在[50,60)的频率及全班人数;
(Ⅱ)求分数在[80,90)之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高;
(Ⅲ)若规定:75(包含75分)分以上为良好,90分(包含90分)以上为优秀,要从分数在良好以上的试卷中任取两份分析学生失分情况,设在抽取的试卷中,分数为优秀的试卷份数为X,求X的概率分布列及数学期望.

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