Question

已知二次函数f（x）=4x²-kx+12．
（1）若函数f（x）在区间[5，+∞）是增函数，求常数k的取值范围；
（2）若不等式f（x）＜4x的解为1＜x＜3，求常数k的值；
（3）若函数f（x）在区间[5，20]上的最大值为12，求常数k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）二次函数f（x）的图象是抛物线，开口向上，对称轴右侧是增函数，由此可得k的取值范围；
（2）由f（x）＜4x得，可得一元二次不等式，结合一元二次方程根与系数的关系，可求得k的值；
（3）由于函数f（x）的对称轴是变化的，要讨论对称轴在区间[5，20]上，还是在区间[5，20]外，根据函数f（x）的增减性写出最大值，从而求出k的值．
解答：解：（1）∵函数f（x）=4x²-kx+12的图象是抛物线，且开口向上，对称轴x=的右侧是增函数，故令≤5，解得k≤40，∴k的取值范围是{k|k≤40}；
（2）由f（x）＜4x得，4x²-kx+12＜4x，整理，得4x²-（k+4）x+12＜0，∵该一元二次不等式的解为1＜x＜3，∴=1+3，∴k=12；
（3）∵二次函数f（x）=4x²-kx+12的对称轴是x=，令≤5，得k≤40；即当k≤40时，f（x）在[5，20]上是增函数，在x=20处取得最大值f（20）=12，此时k=80，不适合，舍去；
令≥20，得k≥160；即当k≥160时，f（x）在[5，20]上是减函数，且在x=5处取得最大值f（5）=12，此时k=20，不适合，舍去；
令5≤≤20，得40≤k≤160，此时f（x）在[5，20]上的最大值是f（20）=12，或f（5）=12，解得k=80，或k=20（舍去）；
综上，得k=80．
点评：本题考查了二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的综合问题，以及二次函数当对称轴变化时在闭区间上的最值问题，是高考中的热点．