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在空间四边形ABCP中,PA⊥PC,PB⊥BC,AC⊥BC.PA、PB与平面ABC所成角分别为30°和45°.

(1)直线PC与AB能否垂直?证明你的结论;

(2)若点P到平面ABC的距离为h,求点P到直线AB的距离.

答案:
解析:

  解:(1)AB与PC不能垂直,证明如下:假设PC⊥AB,作PH⊥平面ABC于H,则HC是PC在平面ABC的射影,∴HC⊥AB,∵PA、PB在平面ABC的射影分别为HB、HA,PB⊥BC,PA⊥PC.

  ∴BH⊥BC,AH⊥AC

  ∵AC⊥BC,∴平行四边形ACBH为矩形.

  ∵HC⊥AB,∴ACBH为正方形.

  ∴HB=HA

  ∵PH⊥平面ACBH.∴ΔPHB≌ΔPHA.

  ∴∠PBH=∠PAH,且PB,PA与平面ABC所成角分别为∠PBH,∠PAH.由已知∠PBH=45°,∠PAH=30°,与∠PBH=∠PAH矛盾.

  ∴PC不垂直于AB.

  (2)由已知有PH=h,∴∠PBH=45°

  ∴BH=PH=h.∵∠PAH=30°,∴HA=h.

  ∴矩形ACBH中,AB==2h.

  作HE⊥AB于E,∴HE=h.

  ∵PH⊥平面ACBH,HE⊥AB,

  由三垂线定理有PE⊥AB,∴PE是点P到AB的距离.

  在RtΔPHE中,PE=h.

  即点P到AB距离为h.

  评析:此题属开放型命题,处理此类问题的方法是先假设结论成立,然后“执果索因”,作推理分析,导出矛盾的就否定结论(反证法),导不出矛盾的,就说明与条件相容,可采用演绎法进行推理,此题(1)属于反证法.


提示:

主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系的综合应用及线面角,点面间距离等概念应用,空间想象力及推理能力.


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科目:高中数学 来源:湖北省荆州中学2008高考复习立体几何基础题题库一(有详细答案)人教版 人教版 题型:044

在空间四边形ABCP中,PA⊥PC,PB⊥BC,AC⊥BCPA、PB与平面ABC所成角分别为30°和45°.

(1)直线PC与AB能否垂直?证明你的结论;

(2)若点P到平面ABC的距离为h,求点P到直线AB的距离.

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