Question

函数f（x）=

1-|x-1|，x∈[0，2] 1 2 (x-2)，x∈[2，+∞)

，则下列说法中正确的是

②④

（只写序号）
①函数y=f（x）-ln（x+1）有3个零点；
②若x＞0，时，函数f（x）≤

k

x

恒成立，则实数k的取值范围是[

3

2

，+∞）；
③函数f（x）的极大值中一定存在最小值；
④f（x）=2^kf（x+2k），（k∈N），对于一切x∈[0，+∞）恒成立．

Answer 1

分析：在同一坐标系中画出函数y=f（x）与y=ln（x+1）的图象，判断函数图象的交点的个数，进而可判断①；分析函数f（x）的极大值点坐标中，横纵坐标积最大值，进而可判断②；根据函数f（x）的图象，可判断函数f（x）的极大值无最小值，进而可判断③；利用数学归纳法，可证得f（x）=2^kf（x+2k），（k∈N），对于一切x∈[0，+∞）恒成立，进而判断④．

解答：解：f（x）=

1-|x-1|，x∈[0，2] 1 2 (x-2)，x∈[2，+∞)

的图象如下图所示：

∵函数y=f（x）与y=ln（x+1）的图象只有两个公共点，故函数y=f（x）-ln（x+1）有2个零点，故①错误；

函数f（x）的极大值点坐标中，横纵坐标积最大的为（3，

1

2

）点，
若函数f（x）≤

k

x

恒成立，则k≥3×

1

2

=

3

2

，故实数k的取值范围是[

3

2

，+∞），故②正确；
函数f（x）的极大值中一定不存在最小值，故③错误；
当k=0时，f（x）=f（x）成立．
假设k=n时，f（x）=2ⁿf（x+2n），（n∈N）成立．
则k=n+1时，
2ⁿ⁺¹f[x+2（n+1）]=2ⁿ⁺¹f（x+2n+2）=2ⁿ⁺¹•

1

2

f（x+2n）=2ⁿf（x+2n）=f（x）
即此时f（x）=2^kf（x+2k），（k∈N）仍成立，
故f（x）=2^kf（x+2k），（k∈N），对于一切x∈[0，+∞）恒成立，故④正确；
故答案为：②④

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了函数的零点，函数恒成立问题，函数的极值，是函数图象和性质的综合应用，难度较大，属于难题．