Question

选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系内，已知曲线C₁的方程为ρ²-2ρ（cosθ-2sinθ）+4=0，以极点为原点，极轴方向为x正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C₂的参数方程为

5x=1-4t 5y=18+3t

（t为参数）．
（Ⅰ）求曲线C₁的直角坐标方程以及曲线C₂的普通方程；
（Ⅱ）设点P为曲线C₂上的动点，过点P作曲线C₁的两条切线，求这两条切线所成角余弦的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的互化公式求得曲线C₁的直角坐标方程，把曲线C₂的参数方程消去参数，化为普通方程．
（Ⅱ）过圆心（1，-2）点作直线3x+4y-15=0的垂线，此时两切线成角θ最大，余弦值最小．由点到直线的距离公式求得弦心距d的值，可得sin

θ

2

=

1

4

，再用二倍角的余弦公式求得两条切线所成角的余弦值的最小值．

解答：解：（Ⅰ）对于曲线C₁的方程为ρ²-2ρ（cosθ-2sinθ）+4=0，
可化为直角坐标方程x²+y²-2x+4y+4=0，即（x-1）²+（y+2）²=1；
对于曲线C₂的参数方程为

5x=1-4t 5y=18+3t

（t为参数），
可化为普通方程3x+4y-15=0．
（Ⅱ）过圆心（1，-2）点作直线3x+4y-15=0的垂线，此时两切线成角θ最大，即余弦值最小．
则由点到直线的距离公式可知，d=

|3×1+4×(-2)-15|

32+42

=4，则sin

θ

2

=

1

4

，
因此，cosθ=1-2sin2

θ

2

=

7

8

，
因此两条切线所成角的余弦值的最小值是

7

8

．

点评：本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式、二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．