Question

如图,三棱柱ABC－A₁B₁C₁中,侧棱A₁A⊥底面ABC,且各棱长均相等.D,E,F分别为棱AB,BC,A₁C₁的中点.

(Ⅰ)证明EF//平面A₁CD;
(Ⅱ)证明平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁;
(Ⅲ)求直线BC与平面A₁CD所成角的正弦值.

Answer 1

(Ⅰ)详见解题分析；(Ⅱ)详见解题分析；(Ⅲ)直线与平面所成角的正弦值为．

试题分析：(Ⅰ)如图，在三棱柱中，要证明//平面，只要在平面内找的平行线，也即只要证明//即可．需要先证明四边形为平行四边形，这可有且//得到；(Ⅱ)要证明平面平面，只要能在其中一个平面内找到另一个平面的垂线即可．可以尝试证明平面由于是正三角形，为的中点，故，为此只要证明，它可以利益底面得到；(Ⅲ)首先需找到或作出线与平面所成角．按照定义，结合已知，在平面内，过点作交直线于点，连接．再利用面面垂直的性质定理，证明平面．由此得为直线与平面所成角．最后在中，利用锐角三角函数求直线与平面所成角的正弦值．

试题解析：(Ⅰ)证明：如图，在三棱柱中，//，且连接在中，分别为的中点，且//，又为的中点，可得且//即四边形为平行四边形，//．又平面平面//平面；
(Ⅱ)证明：由于是正三角形，为的中点，故又由于侧棱底面底面， 因此平面平面，平面平面；
(Ⅲ)解：在平面内，过点作交直线于点，连接．由于平面平面，而直线是平面与平面的交线，故平面．由此得为直线与平面所成角．设棱长为,可得由∽,易得．在中，．所以直线与平面所成角的正弦值为．