【题目】如图所示,正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=2,点E为AB的中点.
(1)求证:BD1∥平面A1DE;
(2)求直线A1E与平面AD1E所成角.
【答案】
(1)证明:连接AD1交A1D于点F,连EF.
∵四边形AA1D1D是正方形,
∴F是AD1的中点,
又∵E为AB的中点,
∴EF∥BD1,
又∵EF平面A1DE,BD1平面A1DE.
∴BD1∥平面A1DE.
(2)解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AE⊥AD.
又∵平面AA1D1D⊥平面ABCD,平面AA1D1D∩平面ABCD=AD,AE平面ABCD,
∴AE⊥平面AA1D1D,又A1D平面AA1D1D,
∴AE⊥A1D.
∵四边形ADD1A1是正方形,
∴AD1⊥A1D,
又∵AE平面AD1E,AD1平面AD1E,AE∩AD1=A,
∴A1D⊥平面AD1E,
∴∠A1EF是直线A1E与平面AD1E所成角.
∵AA1=AE=1,
∴
∵正方形AA1D1D的边长为1,
∴
∴ ,
∴ .
即直线A1E与平面AD1E所成角为 .
【解析】(1)连接AD1交A1D于点F,连EF,利用中位线定理可得BD1∥EF,故BD1∥平面A1DE;(2)证明A1D⊥平面AD1E,故而∠A1EF为直线A1E与平面AD1E所成角,于是sin∠A1EF= .
【考点精析】根据题目的已知条件,利用直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行;已知为两异面直线,A,C与B,D分别是上的任意两点,所成的角为,则.
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【题目】【2017重庆二诊】已知椭圆: 的左顶点为,右焦点为,过点且斜率为1的直线交椭圆于另一点,交轴于点, .
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作直线与椭圆交于两点,连接(为坐标原点)并延长交椭圆于点,求面积的最大值及取最大值时直线的方程.
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【题目】为备战年瑞典乒乓球世界锦标赛,乒乓球队举行公开选拨赛,甲、乙、丙三名选手入围最终单打比赛名单.现甲、乙、丙三人进行队内单打对抗比赛,每两人比赛一场,共赛三场,每场比赛胜者得分,负者得分,在每一场比赛中,甲胜乙的概率为,丙胜甲的概率为,乙胜丙的概率为,且各场比赛结果互不影响.若甲获第一名且乙获第三名的概率为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设在该次对抗比赛中,丙得分为,求的分布列和数学期望.
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【题目】(本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:(a>b>0)的上顶点到焦点的距离为2,离心率为.
(1)求a,b的值.
(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点.
(ⅰ)若k=1,求△OAB面积的最大值;
(ⅱ)若PA2+PB2的值与点P的位置无关,求k的值.
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【题目】(本小题满分14分)
如图,2015年春节,摄影爱好者在某公园处,发现正前方处有一立柱,测得立柱顶端的仰角和立柱底部的俯角均为,已知的身高约为米(将眼睛距地面的距离按米处理)
(1)求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度;
(2)立柱的顶端有一长2米的彩杆绕中点在与立柱所在的平面内旋转.摄影者有一视角范围为的镜头,在彩杆转动的任意时刻,摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面?说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的一系列对应值如表:
x | ﹣ | ||||||
y | ﹣1 | 1 | 3 | 1 | ﹣1 | 1 | 3 |
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式;
(2)根据(1)的结果:
( i)当x∈[0, ]时,方程f(3x)=m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围;
( ii)若α,β是锐角三角形的两个内角,试比较f(sinα)与f(cosβ)的大小.
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【题目】某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查,如表是在某单位得到的数据(人数):
(1)能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关?
赞同 | 反对 | 合计 | |
男 | 5 | 6 | 11 |
女 | 11 | 3 | 14 |
合计 | 16 | 9 | 25 |
(2)从赞同“男女延迟退休”16人中选出3人进行陈 述发言,求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率;
(3)若以这25人的样本数据来估计整个地区的总体数据,现从该地区(人数很多)任选5人,记赞同“男女延迟退休”的人数为X,求X的数学期望.
附:
p(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
K2= .
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【题目】已知函数f(x)= ﹣2ax+1+lnx
(1)当a=0时,若函数f(x)在其图象上任意一点A处的切线斜率为k,求k的最小值,并求此时的切线方程;
(2)若函数f(x)的极大值点为x1 , 证明:x1lnx1﹣ax12>﹣1.
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【题目】在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,且满足(2a﹣c)cosB=bcosC
(1)求角B的大小;
(2)若b= ,a+c=4,求△ABC的面积S.
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