Question

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA₁=2，E、E₁分别是棱AD、AA₁的中点，
（1）设F是棱AB的中点，证明：直线EE₁∥平面FCC₁；
（2）证明：平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C。

Answer 1

证明：（1）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， 取A1B1的中点F1， 连接A1D，C1F1，CF1， 因为AB=4，CD=2，且AB∥CD， 所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形， 所以CF1∥A1D， 又因为E、E1分别是棱AD、AA1的中点， 所以EE1∥A1D，所以CF1∥EE1， 又因为平面FCC1，平面FCC1， 所以直线EE1∥平面FCC1。
（2）连接AC，在直棱柱中，CC1⊥平面ABCD，AC平面ABCD， 所以CC1⊥AC， 因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4，BC=2，F是棱AB的中点， 所以CF=CB=BF，△BCF为正三角形，， △ACF为等腰三角形，且， 所以AC⊥BC， 又因为BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C， 所以AC⊥平面BB1C1C，而平面D1AC， 所以平面D1AC⊥平面BB1C1C。