Question

【题目】已知两个集合A，B，满足BA．若对任意的x∈A，存在ai ， aj∈B（i≠j），使得x=λ1ai+λ2aj（λ1 ， λ2∈{﹣1，0，1}），则称B为A的一个基集．若A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，则其基集B元素个数的最小值是 ．

Answer 1

【答案】3
【解析】解：不妨设a1＜a2＜a3＜…＜am，则

形如1×ai+0×aj（1≤i≤j≤m）的正整数共有m个；

形如1×ai+1×ai（1≤i≤m）的正整数共有m个；

形如1×ai+1×aj（1≤i≤j≤m）的正整数至多有Cm2个；

形如﹣1×ai+1×aj（1≤i≤j≤m）的正整数至多有Cm2个．

又集合M={1，2，3，…，n}（n∈N*），含n个不同的正整数，A为集合M的一个m元基底．

故m+m+Cm2+Cm2≥n，即m（m+1）≥n，

A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，可知m（m+1）≥10，所以m≥3．

所以答案是3．

【考点精析】通过灵活运用集合的表示方法-特定字母法，掌握①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合即可以解答此题．