Question

12．已知集合A={x|-3＜x-1＜2}，B={x|m＜x-m＜1}，
（Ⅰ）若A∪B=A，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若（∁_RA）∩B≠∅，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求解不等式化简集合A，由由A∪B=A，得B⊆A，然后分B=∅和B≠∅求解m的取值范围．
（Ⅱ）根据补集的定义求出（∁_RA），再由题意得到$\left\{\begin{array}{l}{2m＜m+1}\\{2m≤-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2m＜m+1}\\{m+1≥3}\end{array}\right.$，解得即可．

解答 解：（Ⅰ）∵A={x|-3＜x-1＜2}={x|-2＜x＜3}，
B={x|m＜x-m＜1}={x|2m＜x＜m+1}，
又由A∪B=A，得B⊆A，
当B=∅时，2m≥m+1，
∴m≥1；
当B≠∅时，
∵B⊆A，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m＜m+1}\\{2m≥-2}\\{m+1≤3}\end{array}\right.$，
解得-1≤m＜1．
综上所述，m的取值范围为[-1，+∞）；
（Ⅱ）∵（∁_RA）=（-∞，-2]∪[3，+∞），（∁_RA）∩B≠∅，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m＜m+1}\\{2m≤-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2m＜m+1}\\{m+1≥3}\end{array}\right.$，
解得m≤-1，或-2≤m＜1，
∴m＜1，
∴m的取值范围为（-∞，1）．

点评 本题考查了并集交集及其运算，考查了分类讨论的数学思想方法，是基础题．