【题目】设函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若,证明
恒成立.
【答案】(1)当时,
在区间
上单调递增;当
时,
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增;(2)证明见详解.
【解析】
(1)求导,对参数进行分类讨论,进而求得函数的单调区间;
(2)将恒成立问题,转化两个函数最值之间的问题,进而求解.
(1)由题意得,
.
①当时,
,故函数
在区间
上单调递增;
②当时,在区间
上,
,在区间
上,
,
故函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增.
(2)证明:
要证,只需证
.
又,故只需证
即可.
设,则
,
在区间上,
,在区间
上,
,
故函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
所以.
设,则
,
在区间上,
,在区间
上,
,
故函数在区间
上单调递增,在区间
上单调递减,
所以.
又,所以
.
又因为,所以
,
所以,
故在上,
,
综上,恒成立.
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【题目】现有一款智能学习APP,学习内容包含文章学习和视频学习两类,且这两类学习互不影响.已知该APP积分规则如下:每阅读一篇文章积1分,每日上限积5分;观看视频累计3分钟积2分,每日上限积6分.经过抽样统计发现,文章学习积分的概率分布表如表1所示,视频学习积分的概率分布表如表2所示.
(1)现随机抽取1人了解学习情况,求其每日学习积分不低于9分的概率;
(2)现随机抽取3人了解学习情况,设积分不低于9分的人数为,求
的概率分布及数学期望.
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【题目】如图,在直角梯形中,
,过点
作
交
于点
,以
为折痕把
折起,当几何体
的的体积最大时,则下列命题中正确的个数是( )
①
②∥平面
③与平面
所成的角等于
与平面
所成的角
④与
所成的角等于
与
所成的角
A.B.
C.
D.
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【题目】《厉害了,我的国》是2018年在我国各影院上映的一部非常火的电影纪录片,该部影片主要讲述了我国近几年的发展现状和成就,影片通过讲述中国故事,刻画中国面貌,弘扬了中国精神,引起了国民的高度关注,上映仅半个月影片票房就突破了3亿元,刷新了我国纪录片的票房纪录,某市一电影院为了解该影院观看《厉害了,我的国》的观众的年龄构成情况,随机抽取了40名观众数据统计如表:
年龄/岁 | [10,20) | [20,30) | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70) | [70,80) |
人数 | 6 | 8 | 12 | 6 | 4 | 2 | 2 |
(1)求所调查的40名观众年龄的平均数和中位数;
(2)该电影院决定采用抽奖方式来提升观影人数,将《厉害了,我的国》的电影票票价提高20元/张,并允许购买电影票的观众抽奖3次,中奖1次、2次、3次分别奖现金20元、30元、60元,设观众每次中奖的概率均为,则观众在3次抽奖中所获得的奖金总额的数学期望是多少元(结果保留整数)?
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【题目】如图1所示为一种魔豆吊灯,图2为该吊灯的框架结构图,由正六棱锥和
构成,两个棱锥的侧棱长均相等,且棱锥底面外接圆的直径为
,底面中心为
,通过连接线及吸盘固定在天花板上,使棱锥的底面呈水平状态,下顶点
与天花板的距离为
,所有的连接线都用特殊的金属条制成,设金属条的总长为y.
(1)设∠O1AO =(rad),将y表示成θ的函数关系式,并写出θ的范围;
(2)请你设计θ,当角θ正弦值的大小是多少时,金属条总长y最小.
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【题目】如图,三个校区分别位于扇形OAB的三个顶点上,点Q是弧AB的中点,现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P(不与点O,Q重合),为小区铺设三条地下电缆管线PO,PA,PB,已知OA=2千米,∠AOB=,记∠APQ=θrad,地下电缆管线的总长度为y千米.
(1)将y表示成θ的函数,并写出θ的范围;
(2)请确定工作坑P的位置,使地下电缆管线的总长度最小.
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【题目】在三棱锥P﹣ABC中,已知PA,PB,PC两两垂直,PB=3,PC=4,且三棱锥P﹣ABC的体积为10.
(1)求点A到直线BC的距离;
(2)若D是棱BC的中点,求异面直线PB,AD所成角的大小(结果用反三角函数值表示).
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【题目】某人经营淡水池塘养草鱼,根据过去期的养殖档案,该池塘的养殖重量
(百斤)都在
百斤以上,其中不足
百斤的
期,不低于
百斤且不超过
百斤的有
期,超过
百斤的有
期.根据统计,该池塘的草鱼重量的增加量
(百斤)与使用某种饵料的质量
(百斤)之间的关系如图所示.
鱼的重量(单位:百斤) | |||
冲水机运行台数 | 1 | 2 | 3 |
(1)根据数据可知与
具有线性相关关系,请建立
关于
的回归方程
;如果此人设想使用某种饵料
百斤时,草鱼重量的增加量须多于
百斤,请根据回归方程计算,确定此方案是否可行?并说明理由.
(2)养鱼的池塘对水质含氧与新鲜度要求较高,故养殖户需设置若干台增氧冲水机,每期养殖使用的冲水机运行台数与鱼塘的鱼重量有关,并有如下关系:
若某台增氧冲水机运行,则该台冲水机每期盈利千元;若某台冲水机未运行,则该台冲水机每期亏损
千元.以频率 作为概率,养殖户欲使每期冲水机总利润的均值达到最大,应安装几台增氧冲水机?
附:对于一组数据,其回归方程
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,
.
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