Question

15．△ABC中，已知A=$\frac{π}{3}$，a=10．
（1）若B=$\frac{π}{4}$，求△ABC的面积；
（2）求b的取值范围；
（3）求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理求出b的值，再求出C的值，从而计算△ABC的面积S_△ABC；
（2）利用正弦定理和三角形的内角和定理，即可求出b的取值范围；
（3）利用正弦定理和三角恒等变换，即可求出周长l的取值范围．

解答 解：（1）△ABC中，A=$\frac{π}{3}$，a=10，B=$\frac{π}{4}$，
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$
$\frac{10}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{b}{sin\frac{π}{4}}$
b=$\frac{10\sqrt{6}}{3}$
C=π-$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{12}$
∴sinC=sin（$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{4}$）=sin$\frac{π}{3}$cos$\frac{π}{4}$+cos$\frac{π}{3}$sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$；
△ABC的面积S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×10×$\frac{10\sqrt{6}}{3}$×$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=25+$\frac{25\sqrt{3}}{3}$；
（2）△ABC中，A=$\frac{π}{3}$，a=10，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{10}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$，
∴b=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$sinB，
又0＜B＜$\frac{2π}{3}$，
∴0＜sinB≤1，
∴0＜b≤$\frac{20\sqrt{3}}{3}$，
即b的取值范围是（0，$\frac{20\sqrt{3}}{3}$]；
（3）△ABC中，由正弦定理得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{a+b+c}{\frac{\sqrt{3}}{2}+sinB+sinC}$=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$，
∴周长l=a+b+c=10+$\frac{20\sqrt{3}}{3}$（sinB+sinC）
=10+$\frac{20\sqrt{3}}{3}$[sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）]
=10+$\frac{20\sqrt{3}}{3}$sin（B+$\frac{π}{3}$），
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{3}$＜B+$\frac{π}{3}$＜π，
∴0＜sin（B+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴△ABC的周长l∈（10，10+$\frac{20\sqrt{3}}{3}$]．

点评 本题考查了正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性，也考查了推理与计算能力，是综合性定理．