Question

求证：对任意的n∈N^*，不等式ln

n+2

2

＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

都成立．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：构造函数f（x）=x²+x-ln（1+x），利用导数证明x²+x≥ln（1+x），利用放缩法即可证明不等式．

解答： 解：构造函数f（x）=x²+x-ln（1+x），x≥0，
则函数的导数f′（x）=2x+1-

1

x+1

=

x(2x+3)

x+1

，
当x≥0时，f′（x）≥0，则函数单调递增，
则f（x）≥f（0）=0，
故x²+x≥ln（1+x），x≥0，
令x=

1

n

，得（

1

n

）²+

1

n

≥ln（1+

1

n

）=ln（1+n）-lnn，
即

1

n(n-1)

+

1

n

＞（

1

n

）²+

1

n

≥ln（1+n）-lnn，
从而

1

n(n-1)

＞ln（1+n）-lnn，
分别令n=2，3，4，…n，
则1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

＞ln3-ln2+ln4-ln3+…+ln（1+n）-lnn=ln（n+1）-ln2=ln

n+2

2

，
故ln

n+2

2

＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

都成立．

点评：本题主要考查不等式的证明，利用条件构造函数，利用放缩法是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．