Question

若二项式(

x

-

2

x

)n的展开式中所有二项式系数的和等于256，则展开式中含x³的项为

-16x³

．

Answer 1

分析：根据展开式中所有二项式系数的和等于2ⁿ=256，求得 n=8．在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中含x³的项．

解答：解：由于二项式(

x

-

2

x

)n的展开式中所有二项式系数的和等于2ⁿ=256，∴n=8．
展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 8

•x

8-r

2

•（-2）^r•x-

r

2

=（-2）^r•

C

r 8

•x

8-2r

2

，
令

8-2r

2

=3，求得r=1，故展开式中含x³的项为-2•

C

1 8

•x³=-16x³，
故答案为-16x³．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．