Question

(本题满分12分)如图，现在要在一块半径为1 m，圆心角为60°的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP＝θ，MNPQ的面积为S.

(1)求S关于θ的函数关系式；

(2)求S的最大值及相应θ的值．

Answer 1

(本题满分12分)

(1)分别过点P、Q作PD⊥OB，QE⊥OB，垂足分别为D、E，则四             边形QEDP是矩形．

PD＝sinθ，OD＝cosθ.

在Rt△OEQ中，∠AOB＝，

则OE＝QE＝PD…………………………………3分

所以MN＝PQ＝DE＝OD－OE＝cosθ－sinθ.

则S＝MN×PD＝(cosθ－sinθ)×sinθ

＝sinθcosθ－sin²θ，θ∈(0，)．……………………….3分

(2)S＝sin2θ－(1－cos2θ)＝sin2θ＋cos2θ－＝sin(2θ＋)－……2分

因为0<θ<，所以<2θ＋<，

所以<sin(2θ＋)≤1. ………………………………………………………..2分

所以当2θ＋＝，即θ＝时，S的值最大为 m².

即S的最大值是 m²，相应θ的值是……………………………2分