Question

（08年雅礼中学一模理）（13分）  已知点

（Ⅰ）求f(x)的定义域；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）求证：数列{a_n}前n项和

Answer 1

解析：（Ⅰ）由

故x>0或x≤－1

f(x)定义域为                          …………………………（4分）

（Ⅱ）

下面使用数学归纳法证明：

①在n=1时，a₁=1，<a₁<2，则n=1时（*）式成立.

②假设n=k时成立，

由

要证明：

只需

只需(2k+1)³≤8k(k+1)²

只需1≤4k²+2k

而4k²+2k≥1在k≥1时恒成立.

只需证：4k²+11k+8>0，而4k²+11k+8>0在k≥1时恒成立.

于是：

因此得证.

综合①②可知（*）式得证.从而原不等式成立.                     ………………9分

（Ⅲ）要证明：

由（2）可知只需证：

…………（**）

下面用分析法证明：（**）式成立。

要使（**）成立，只需证：

即只需证：(3n－2)³n>(3n－1)³(n－1)

只需证：2n>1

而2n>1在n≥1时显然成立.故（**）式得证：

于是由（**）式可知有：

因此有：

                     ……………………………………（13分）