Question

（不等式选讲选做题）已知a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，则的最大值为    ．

Answer 1

【答案】分析：根据柯西不等式（x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃）²≤（x₁²+x₂²+x₃²）（y₁²+y₂²+y₃²），将原式进行配凑并结合已知条件a+b+c=1加以计算，即可得到 的最大值．
解答：解：根据柯西不等式，可得
（ ）²
=（1•+1•+1•）²
≤（1²+1²+1²）[（ ）²+（ ）²+（ ）²]=3[3（a+b+c）+3]=18
当且仅当 ==），
即a=b=c=时，（ ）²的最大值为18
因此 的最大值为 3．
故答案为：3
点评：本题给出三个正数满足a+b+c=1，求的最大值．考查了利用柯西不等式求最值的方法，属于中档题．