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设p为常数,函数f(x)=log2(1-x)+plog2(1+x)为奇函数.
(1)求p的值;(2)若f(x)>2,求x的取值范围;(3)求证:x•f(x)≤0.
分析:(1)f(x)=log2(1-x)+plog2(1+x)=log2(1-x)(1+x)p,由f(x)=log2(1-x)+plog2(1+x)为奇函数,知f(-x)=log2(1+x)(1-x)p=-f(x)=log2
1
(1-x)(1+x )p
,由此能求出p的值.
(2)由p=-1,知f(x)=log2
1-x
1+x
,由f(x)>2,
1-x>0
1+x>0
1-x
1+x
>4
,由此能求出f(x)>2时x的取值范围.
(3)由f(x)=log2
1-x
1+x
的定义域为{x|-1<x<1},分-1<x<0,x=0和0<x<1三种情况进行讨论,证明x•f(x)≤0.
解答:解:(1)f(x)=log2(1-x)+plog2(1+x)=log2[(1-x)(1+x)p],
∵f(x)=log2(1-x)+plog2(1+x)为奇函数,
∴f(-x)=log2[(1+x)(1-x)p]=-f(x)=log2
1
(1-x)(1+x )p
=log2[(1-x)-1(1+x)-p],
1+x=(1+x)-p
(1-x)p=(1-x)-1

∴p=-1.
(2)∵p=-1,
∴f(x)=log2
1-x
1+x

∵f(x)>2,
1-x>0
1+x>0
1-x
1+x
>4

解得-1<x<-
3
5

∴f(x)>2时x的取值范围是(-1,-
3
5
).
(3)∵f(x)=log2
1-x
1+x

1-x
1+x
>0
,解得-1<x<1.
当-1<x<0时,
1-x
1+x
>1
,f(x)=log2
1-x
1+x
>0,
∴x•f(x)<0;
当x=0时,
1-x
1+x
=1,f(x)=log2
1-x
1+x
=0,
∴x•f(x)=0;
当0<x<1时,
1-x
1+x
<1,f(x)=log2
1-x
1+x
<0,
∴x•f(x)<0.
综上所述,x•f(x)≤0.
点评:本题考查对数函数的性质和应用,是中档题.解题时要认真审题,注意分类讨论思想的灵活运用.
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1
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)+f(
1
3
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