Question

已知f（x-1）是偶函数（x∈R且x≠0）且在（0，+∞）上单调递增，f（-2）=0，则关于x的不等式：（x+1）f（x）＞0的解集是（　　）

• A、（-∞，-2）∪（-1，+∞）
• B、（-2，-1）∪（0，+∞）
• C、（-2，0）
• D、（-1，+∞）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x-1）是偶函数和图象的平移，求出函数f（x）的对称轴，由题意和偶函数的性质求出f（x）的单调区间，再由f（-2）=0和对称轴是x=-1得f（0）=0，再对x+1进行分类讨论，利用函数的单调性和特殊函数值，求出不等式（x+1）f（x）＞0的解集．

解答： 解：函数f（x）的图象可由f（x-1）的图象向左平移1个单位得到，
因为偶函数f（x-1）的图象关于y轴对称，所以f（x）图象关于直线x=-1对称，
又f（x-1）在（0，+∞）上单调递增，
所以f（x）在（-∞，-1）上单调递减，（-1，+∞）上单调递增，
由f（-2）=0和对称轴是x=-1得f（0）=0，
当x+1＜0时，f（x）＜0=f（-2），解得-2＜x＜-1；
当x+1＞0时，f（x）＞0=f（0），解得x＞0，
综上得，不等式（x+1）f（x）＞0解集为（0，+∞）∪（-2，-1），
故选：B．

点评：本题考查函数的奇偶性与单调性综合应用，图象的平移法则，以及分类讨论思想和转化思想．